Niniejsza książka została opracowana z myślą o dwóch kierunkach kształcenia akademickiego: matematyce oraz inżynierii i analizie danych. Jej celem jest zapewnienie solidnych podstaw teoretycznych oraz praktycznych umiejętności niezbędnych do stosowania metod wielowymiarowych w rzeczywistych problemach badawczych i aplikacyjnych. Zakres tematyczny książki został dobrany tak, aby uwzględniać zarówno klasyczne metody statystyczne, jak i techniki wykorzystywane we współczesnej analizie danych.
W pierwszej części książki omówione zostaną testy wielowymiarowe, które stanowią rozszerzenie klasycznych metod statystycznych na przypadki, w których każda obserwacja opisana jest wieloma zmiennymi. Szczególna uwaga zostanie poświęcona testowi Hotellinga T², będącemu odpowiednikiem testu t dla wielu zmiennych, oraz analizie wariancji dla wielu zmiennych (MANOVA), pozwalającej na badanie różnic między grupami z uwzględnieniem współzależności zmiennych. Celem tej części będzie zrozumienie podstaw inferencji w przestrzeni wielowymiarowej i interpretacji wyników testów z uwzględnieniem macierzy kowariancji.
Następnie przedstawiona zostanie analiza kanoniczna, która służy do badania zależności pomiędzy dwoma zestawami zmiennych. Czytelnik pozna konstrukcję zmiennych kanonicznych, sposoby ich interpretacji oraz znaczenie wag i korelacji kanonicznych. Analiza ta ma kluczowe znaczenie wszędzie tam, gdzie celem jest znalezienie skorelowanych struktur w dwóch grupach cech, np. w badaniach biologicznych, społecznych lub psychometrycznych.
Kolejna część książki będzie poświęcona analizie czynnikowej (FA), która umożliwia modelowanie współzmienności zestawu zmiennych za pomocą mniejszej liczby zmiennych ukrytych, zwanych czynnikami. Przedstawione zostaną metody estymacji, kryteria wyboru liczby czynników oraz techniki rotacji, które służą lepszej interpretacji wyników. Analiza czynnikowa jest często stosowana w badaniach ankietowych i psychometrycznych, ale znajduje również zastosowanie w analizie danych ekonomicznych i marketingowych.
W dalszej kolejności wprowadzony zostanie model ścieżkowy oraz jego uogólnienie w postaci modeli równań strukturalnych (SEM). Modele te pozwalają na modelowanie zarówno obserwowalnych, jak i ukrytych zmiennych oraz relacji przyczynowych pomiędzy nimi. Czytelnik pozna strukturę modelu ścieżkowego, pojęcie identyfikowalności, miary dopasowania oraz techniki estymacji parametrów. Modele SEM są obecnie szeroko stosowane w naukach społecznych, biologii, psychologii i ekonomii.
Następnie omówione zostaną metody redukcji wymiarowości, których celem jest uproszczenie reprezentacji danych bez utraty istotnej informacji. Kluczową techniką będzie analiza składowych głównych (PCA), która pozwala na znalezienie nowych osi zmienności w danych. Kolejno zaprezentowana zostanie analiza niezależnych składowych (ICA), która poszukuje składników statystycznie niezależnych, co jest szczególnie użyteczne w analizie sygnałów. Obie metody znajdą zastosowanie zarówno w przygotowaniu danych, jak i w ich eksploracji.
Kolejna część książki poświęcona będzie metodom skalowania wielowymiarowego (Multidimensional Scaling, MDS), które umożliwiają odwzorowanie relacji odległościowych pomiędzy obiektami w przestrzeni o mniejszym wymiarze. Wariant metric zakłada zachowanie rzeczywistych wartości odległości, natomiast non-metric koncentruje się na porządku dystansów. Metody te pozwalają uzyskać intuicyjne wizualizacje struktur danych, szczególnie przydatne w psychologii, socjologii czy analizie rynku.
W uzupełnieniu do klasycznych technik przedstawione zostaną nieliniowe metody redukcji wymiarowości, takie jak t-distributed Stochastic Neighbor Embedding (t-SNE) oraz Uniform Manifold Approximation and Projection (UMAP). Obie techniki pozwalają na odwzorowanie skomplikowanych struktur danych w przestrzeniach dwu- lub trójwymiarowych, zachowując lokalne sąsiedztwa. Choć są to metody przede wszystkim eksploracyjne i wizualizacyjne, ich wartość w analizie dużych zbiorów danych jest trudna do przecenienia.
Następnie przedstawiona zostanie analiza skupień, której celem jest odkrywanie naturalnych grup w zbiorze danych. Omówione zostaną zarówno metody hierarchiczne, jak i niehierarchiczne, w tym popularna metoda k-średnich. Poruszona zostanie problematyka doboru liczby skupień oraz oceny stabilności i jakości otrzymanych rozwiązań. Analiza skupień znajduje zastosowanie w segmentacji rynku, biologii molekularnej, diagnostyce medycznej i wielu innych dziedzinach.
Kolejna część książki poświęcona będzie analizie korespondencji, stosowanej do eksploracji związków pomiędzy zmiennymi jakościowymi przedstawionymi w postaci tablicy kontyngencji. Przedstawiona zostanie zarówno analiza korespondencji prosta (dla dwóch zmiennych), jak i złożona (dla więcej niż dwóch). Omówione zostaną interpretacja map percepcyjnych, odwzorowanie profili oraz związki z metodami takimi jak PCA czy MDS.
Ostatni rozdział poświęcony będzie analizie log-liniowej, która umożliwia modelowanie częstości w tablicach wielodzielczych na podstawie interakcji pomiędzy zmiennymi kategorycznymi. Zostaną zaprezentowane modele pełne i uproszczone, zasady testowania złożoności modeli oraz interpretacji parametrów. Analiza log-liniowa jest szczególnie przydatna przy badaniu wielowymiarowych zależności między zmiennymi kategorycznymi w badaniach społecznych, medycznych oraz w analizie zachowań konsumenckich.
Wszystkie metody zostaną zilustrowane przykładami praktycznymi, realizowanymi w języku R. Pozwoli to Czytelnikowi nie tylko zrozumieć teoretyczne podstawy omawianych technik, ale także nabyć umiejętność ich stosowania w praktyce analitycznej.